(정수론저장소) 소수(Prime number)의 비밀 +461 [30]

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https://www.ilbe.com/10083628258 (수학자저장소) 현세대 최고의 수학자 테렌스 타오 (Terence Tao)

소수(Prime number)란 어떤 수인가?

1과 자기자신으로밖에 나눠지지 않는 신비한 숫자, 우리는 이를 소수라 부른다.

쉽게말하자면, 약수(Divisor)가 1과 자신, 두개뿐인 모든 양의 정수를 일컫는 말이다.

예를들면 2, 3, 5, 7, 11.... 과 같은 모든 양의 정수는 소수이다.

이 재미있고 신비한 숫자들은, 훗날 수많은 수학자들을 정신병에 걸리게 하기도 하며, 수학자들의 가족과 인생을 파탄내버리고 죽음에 이르게까지 하면서도

이 소수의 비밀을 풀기위해 한평생을 모두 불태우게 만든다.

인류와 소수의 태초적 만남은 한 그리스의 천재수학자와 함께 시작된다.

[Euclid BC 323 - BC 285]

'소수는 무한히 존재하는가'

수학의 기초를 닦은 그리스의 수학자 유클리드는 소수의 무한성에 대한 고민을 해결하고, 이를 귀류법으로 증명한다.

귀류법이란 한 명제를 참이라 가정하고, 그 명제의 모순을 보임으로써 명제가 거짓이라는 것을 이끌어내는 수리논리학의 증명법이다. (일상생활의 말다툼중에 "그래, 니 말이 맞다고 치자, 그럼 ~하기 때문에 니말은 틀렸어" 라고 하는 말싸움 전략이 귀류법이다)

그의 증명은 다음과 같다.

"귀류법에 의거해, 소수는 유한하다고 가정하자

그리고 그 소수의 수열은 다음과같다. [p(1), p(2), p(3), ... , p(n)]

이때, 이 소수들을 모두 곱하고 1을 더한 값을 A라 가정하자.

A = p(1)p(2)p(3)...p(n) + 1

이때 이 A는 p(1)p(2)p(3)...p(n)까지의 어떠한 소수로도 나눠질 수 없는 수이기 때문에, A 자체가 새로운 소수이거나 아니면 A보다 더 큰 다른 소수가 존재하여한다.

따라서 위의 가정은 거짓이고, 귀류법에 의해서 소수는 무한히 존재한다."

수억만개의 별과 수억만개의 행성을 포함하고 있는 은하가 또 수억만개가 넘어가는

은하단이 수억만개로 이루어진 물리법칙이 통일된 작용하는 우주가 수억만개가 존재하는 우주들의 개수보다 소수의 개수는 많다. 아니, 무한하다.

인류는 이 소수의 법칙에 대해서 궁금증을 품기 시작한다.

소수의 수열은 존재하는가?

일정값 이하로 존재하는 소수를 알아낼 수 있는 알고리즘이 존재하는가?

혹은 일정값 이하로 존재하는 소수의 '개수'를 알아낼 수 있는 알고리즘은 존재하는가?

고대의 수학자들과 중세의 수학자들이 끊임없이 노력하며 소수의 규칙을 알아내려고 했으나, 놀랍게도 수천년간 "불규칙적이다"라는 규칙외에는 어떠한 규칙도 찾아낼 수 없었다.

이 놀라운 게임에 수많은 천재 수학자들이 흥미를 가지고 플레이하기 시작한다.

이러한 소수 정리들은 수많은 수학자들에 의해 쏟아져나왔으나, 중요한 문제는

그 모든 정리들은 "대략적인" 수치와 해석만을 제시한다는 것이었다.

정밀한 소수의 분석에 난관을 겪고있던 수학자들에게 가우스의 제자인 한 독일의 수학자가 등장한다.

[Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826 -1866]

<?ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?ße> <주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여>

리만은 1859년 독일의 베를린학술원에서 8페이지로 구성된 한편의 짧은 논문을 발표한다. 논문의 대략적인 요약은 다음과 같다

리만은 새롭게 제타 함수(ζ(s))라는 개념을 도입하여 제타함수에서 복소수 실수가 1보다 클때를 다음과 같이 정의하고 '리만 제타 함수'라 부른다.

ζ(s) = ∑ (from n=1 to positive infinite) 1/n^s , 1 < Re(s)

[Riemann Zeta function on the complex plane]

이제 이 리만 제타 함수의 정의역을 복소수 범위로 확장하고, 자명한 근(Trivial zeros)을 가지는 복소수 를 제외한다.

이 때, 나머지 자명하지 않근 근, 비자명근(nontrivial zeros)의 실수부는 놀랍게도 모두 1과 0사이에 존재한다.

리만은 이 모든 리만 제타 함수의 비자명근의 실수부는 1/2 일것이라고 가정하고,

제타함수의 비자명근의 모든 합을 구하여 소수 계량 함수를 정리한다.

그런데 무언가 문제가 발생한다. 리만이 생략한 제타함수의 비자명한 근의 실수부가 1/2인가에 대한 증명이 아무리 계속 증명을 하려해도 쉽게 풀리지 않는다.

리만 사후 수십년간 이 문제에 대한 수많은 수학자들의 노력이 있어왔지만, 이는 결국 풀리지 않게 된다.

수학자들은 리만의 이름을 따서 이 가설을 "리만 가설"(Riemann Hypothesis)이라고 이름붙인다.

그리고 현재, 이는 200년간 정수론과 수학의 풀리지 않고 남아있는 정수론 최고의 난제로 자리잡았다.

[John Forbes Nash 1928 - 2015]

겨우 십대의 나이에 현대경제학의 기초를 마련한 게임이론을 정립한 미국 프린스턴 대학의 천재 수학자 존 내쉬는 리만가설을 연구하던 도중 결국 정신병에 걸려버렸고, 한동안 수학을 제대로 할 수도 없을 정도가 되었었다.

그리고 이를 연구하던 수많은 수학자들은 불타는 수학적 의지로 리만가설에 손을 대었다, 결국 가정이 파탄하고 정신병에 걸린 수학자만 수만명, 결국 많은 수학자들이 자살하기까지이른다.

이런 너무나 높은 악명에 수학자들은 "리만 가설을 해결하는 순간 미쳐버린다" 라는 괴담마저 퍼트리기 시작했다.

수학의 거장 힐베르트는 만약 자신이 500년후 깨어난다면 "리만 가설은 해결되었습니까" 라는 질문 단 하나만을 할 것이라고 했다.

이러한 19~20세기의 수학계의 분위기에 수학자들은 한동안 "소수"와 관련된 연구를 하기 상당히 꺼려하기 시작했다.

그러나 불행하게도 소수는 수학의 모든것과 관련되어있었다.

소수에 대한 조그만 실마리하나만 잡은 상태에서, 소수에 대한 너무나 악마같이 달콤한 유혹을 하는 난제들은 20세기 당대에 수없이 많이 존재했다.

그러던 와중 독일의 한 무명수학자 골드바흐는 오일러에게 이러한 재미있는 문제를 보낸다.

[Christian Goldbach 1690 - 1764]

"2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타내어질 수 있다" (골드바흐의 짝수 추측, 현재 250년간 미해결 난제)

"5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타내어질 수 있다" (골드바흐의 홀수 추측, 현재 250년간 미해결 난제, 2015년 테렌스 타오에 의해서 5개 미만의 소수로는 나타내어질 수 있다고 증명됨)

골드바흐의 이러한 괴이한 문제를 전해받은 오일러는 단순히 생각후 증명을 해나가지만,

생각과는다르게 문제가 간단하지 않다는 것을 깨닫게 되고,

이를 수학계에 공개한다.

이후, 현재까지 250년간 골드바흐의 추측 또한 리만가설과 같이 정수론 최고의 미해결 난제로 남게된다.

[Terence Tao 陶哲軒 1975 ~ ]

2015년 최근에는 비노그라도프의 정리를 확장시켜 (Ivan Matveyevich Vinogradov)

현세대 최고의 수학자라 불리는 젊은 동양계 오스트레일리아-미국인 수학자 테렌스 타오에 의해서

골드바흐의 홀수 추측은 "5개 이하의 소수의 합으로는 모두 나타내어질 수 있다"가 증명되었으나, "얼마만큼의 소수가 구체적으로 요구되는가"는 아직 미해결 난제이다.

소수에 관한 난제는 아직까지 그 문제를 해결하기위한 "실마리" 조차도 잡혔는지 잡히지 않았는지를 알아내기 위해 수학자들이 평생을 바쳐가며 연구하며 알아내려 노력하고있다.